Упр.41.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию f'(x) = < g'(x), если: a) f(x) = sin х * cos х, g(x) = 1/2 х + 61; б) f(x) = x cos х, g(x) = sin x.

1. а) $$f(x)=\sin x\cdot \cos x,\quad g(x)=\frac12 x+61.$$

   Найдём производные:

   $$ f'(x)=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’=\cos x\cos x-\sin x\sin x=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x, $$
   $$ g'(x)=\left(\frac12 x+61\right)’=\frac12. $$

   Требуется, чтобы $$f'(x)\le g'(x),$$ то есть

   $$ \cos 2x\le \frac12. $$

   Решаем неравенство:

   $$ \frac{\pi}{3}+2\pi n\le 2x\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

   Делим на 2:

   $$ \frac{\pi}{6}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2. б) $$f(x)=x\cos x,\quad g(x)=\sin x.$$

   Найдём производные:

   $$ f'(x)=(x)’\cos x+x(\cos x)’=\cos x-x\sin x, $$
   $$ g'(x)=(\sin x)’=\cos x. $$

   Тогда

   $$ f'(x)\le g'(x)\iff \cos x-x\sin x\le \cos x\iff -x\sin x\le 0\iff x\sin x\ge 0. $$

   Рассмотрим знаки множителей:

   • если $$x\ge 0,$$ то нужно $$\sin x\ge 0,$$ значит $$2\pi n\le x\le \pi+2\pi n;$$
   • если $$x\le 0,$$ то нужно $$\sin x\le 0,$$ значит $$-\pi+2\pi n\le x\le 2\pi n.$$

   Объединяя, получаем:

   $$ 2\pi n\le x\le \pi+2\pi n,\quad -\pi+2\pi n\le x\le 2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$2\pi n\le x\le \pi+2\pi n,\quad -\pi+2\pi n\le x\le 2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$