Упр.41.56 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию f'(x) = g'(x), если: a) f(x) = 6/(5x-9), g(x) = 3/(7-5x) б) f(x) = ctg х, g(x) = 2x + 15.

Подробный ответ

а) $$f(x)=\frac{6}{5x-9}, \quad g(x)=\frac{3}{7-5x}.$$

Найдём производные:

$$ f'(x)=\left(\frac{6}{5x-9}\right)’=-\frac{6\cdot 5}{(5x-9)^2}=-\frac{30}{(5x-9)^2}, $$
$$ g'(x)=\left(\frac{3}{7-5x}\right)’=\frac{3\cdot 5}{(7-5x)^2}=\frac{15}{(7-5x)^2}. $$

Приравниваем производные:

$$ -\frac{30}{(5x-9)^2}=\frac{15}{(7-5x)^2}. $$

Левая часть всегда отрицательна, а правая — всегда положительна, значит, равенство невозможно.

б) $$f(x)=\ctg x, \quad g(x)=2x+15.$$

Найдём производные:

$$ f'(x)=(\ctg x)’=-\frac{1}{\sin^2 x}, \qquad g'(x)=(2x+15)’=2. $$

Приравниваем:

$$ -\frac{1}{\sin^2 x}=2. $$

Умножим на $$\sin^2 x$$:

$$ -1=2\sin^2 x, $$
$$ \sin^2 x=-\frac{1}{2}. $$

Но квадрат синуса не может быть отрицательным, поэтому действительных решений нет.