Упр.41.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = g(x) больше скорости изменения функции у = h(x): a) g(x) = х3 — 3х2, h(x) = 1,5х2 — 9; б) g(x) = tg х, h(x) = 4х — 81?

Скорость изменения функции в точке равна значению её производной в этой точке. Поэтому нужно решить неравенство $$g'(x)>h'(x).$$

а) $$g(x)=x^3-3x^2,\qquad h(x)=1{,}5x^2-9.$$

Найдём производные:

$$g'(x)=3x^2-6x,$$
$$h'(x)=3x.$$

Составим неравенство:

$$3x^2-6x>3x,$$
$$3x^2-9x>0,$$
$$3x(x-3)>0.$$

Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

$$x<0 \quad \text{или} \quad x>3.$$

б) $$g(x)=\tg x,\qquad h(x)=4x-81.$$

Найдём производные:

$$g'(x)=\frac{1}{\cos^2 x},$$
$$h'(x)=4.$$

Решаем неравенство:

$$\frac{1}{\cos^2 x}>4,$$
$$1>4\cos^2 x,$$
$$\cos^2 x<\frac14,$$
$$|\cos x|<\frac12.$$

Отсюда

$$-\frac12<\cos x<\frac12.$$

С учётом периодичности косинуса получаем:

$$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;0)\cup(3;+\infty).$$
б) $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$