Упр.41.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = cos x, g(x) = sin x; 6) f(x) = tg x, g(x) = -ctg x?

1. а) $$f(x)=\cos x,\quad g(x)=\sin x.$$

   Найдём производные:

   $$f'(x)=-\sin x,\qquad g'(x)=\cos x.$$

   Скорости изменения функций одинаковы, когда равны их производные:

   $$-\sin x=\cos x.$$

   Разделим на $$\cos x$$:

   $$-\tg x=1,\qquad \tg x=-1.$$

   Тогда

   $$x=\arctg(-1)+\pi n=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

2. б) $$f(x)=\tg x,\quad g(x)=-\ctg x.$$

   Найдём производные:

   $$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x},\qquad g'(x)=\frac{1}{\sin^2 x}.$$

   Приравняем их:

   $$\frac{1}{\cos^2 x}=\frac{1}{\sin^2 x}.$$

   Отсюда

   $$\sin^2 x=\cos^2 x,$$

   $$\cos^2 x-\sin^2 x=0,$$

   $$\cos 2x=0.$$

   Тогда

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z},$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}.$$