Упр.41.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = f(x) равна скорости изменения функции у = g(x): a) f(x) = 1/3х3 — х2, g(x) = 7,5×2 — 16x; б) f(x) = корень x, g(x) = -1/x?

а) Найдём производные функций:

$$f(x)=\frac13x^3-x^2,\qquad f'(x)=x^2-2x$$
$$g(x)=7{,}5x^2-16x,\qquad g'(x)=15x-16$$

Приравняем производные:

$$x^2-2x=15x-16$$
$$x^2-17x+16=0$$
$$D=17^2-4\cdot16=289-64=225$$
$$x_{1,2}=\frac{17\pm15}{2}$$
$$x_1=1,\qquad x_2=16$$

б) Найдём производные функций:

$$f(x)=\sqrt{x},\qquad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$g(x)=-\frac{1}{x},\qquad g'(x)=\frac{1}{x^2}$$

Приравняем производные:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{x^2}$$
$$x^2=2\sqrt{x}$$
$$x^{3/2}=2$$
$$x=\sqrt[3]{4}$$

Ответ

а) $$1,\ 16$$; б) $$\sqrt[3]{4}$$.