Упр.41.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство f(x) > 0: a) f(x) = x3 + х4; б) f(x) = 4/(2-5x)

а) $$f(x)=x^3+x^4$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2+4x^3$$

Решаем неравенство:

$$3x^2+4x^3>0$$

Вынесем общий множитель:

$$x^2(3+4x)>0$$

Так как $$x^2\ge 0$$ и при $$x\ne 0$$ имеем $$x^2>0$$, то знак произведения определяется множителем $$3+4x$$. Поэтому:

$$3+4x>0$$

$$4x>-3$$

$$x>-\frac34$$

Но нужно исключить точку $$x=0$$, так как при ней произведение равно нулю. Тогда

$$x\in\left(-\frac34;0\right)\cup(0;+\infty)$$

б) $$f(x)=\frac{4}{2-5x}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{0\cdot(2-5x)-4\cdot(-5)}{(2-5x)^2}=\frac{20}{(2-5x)^2}$$

Так как числитель положителен, а квадрат в знаменателе положителен при всех допустимых значениях $$x$$, то

$$f'(x)>0$$

при всех $$x$$, для которых функция определена. Область определения:

$$2-5x\ne 0$$

$$x\ne \frac25$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;\frac25)\cup(\frac25;+\infty)$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac34;0\right)\cup(0;+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty;\frac25)\cup(\frac25;+\infty)$$.