Упр.41.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство f'(x) < 0: a) f(x) = x3 - 16; б) f(x) = 1/5 x3 - 5/3x3 + 6x.

а) $$f(x)=x^3-x^4$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2-4x^3$$

Решим неравенство:

$$3x^2-4x^3<0$$

Вынесем общий множитель:

$$x^2(3-4x)<0$$

Так как $$x^2\ge 0$$, то произведение будет отрицательным только при

$$3-4x<0$$

$$x>\frac34$$

При этом $$x=0$$ не подходит, но он и не входит в найденный промежуток.

б) $$f(x)=\frac15x^5-\frac53x^3+6x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=x^4-5x^2+6$$

Решим неравенство:

$$x^4-5x^2+6<0$$

Положим $$y=x^2$$. Тогда получаем:

$$y^2-5y+6<0$$

$$ (y-2)(y-3)<0 $$

Отсюда

$$2<y<3$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем:

$$2<x^2<3$$

$$\sqrt2<|x|<\sqrt3$$

Значит,

$$-\sqrt3<x<-\sqrt2$$

или

$$\sqrt2<x<\sqrt3$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac34;+\infty\right)$$;

б) $$x\in\left(-\sqrt3;-\sqrt2\right)\cup\left(\sqrt2;\sqrt3\right)$$.