Упр.41.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях а касательные к графикам функций у = f(x), у = h(x) в точке х = а не имеют общих точек: a) f(x) = х7, h(x) = х8; б) f(x) = х2 + х + 3, h(x) = х3?
Касательные к графикам функций в точке $$x=a$$ не имеют общих точек, если они параллельны, то есть их угловые коэффициенты равны.
а) $$f(x)=x^7,\quad h(x)=x^8$$
Найдём производные:
$$f'(x)=7x^6,\quad h'(x)=8x^7$$
Приравняем угловые коэффициенты касательных в точке $$x=a$$:
$$7a^6=8a^7$$
$$a^6(7-8a)=0$$
Так как касательные должны быть различными и параллельными, берём $$a\neq 0$$, тогда
$$7-8a=0,\quad a=\frac{7}{8}$$
б) $$f(x)=x^2+x+3,\quad h(x)=x^3$$
Найдём производные:
$$f'(x)=2x+1,\quad h'(x)=3x^2$$
Приравняем угловые коэффициенты:
$$2a+1=3a^2$$
$$3a^2-2a-1=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16$$
$$a_{1,2}=\frac{2\pm 4}{6}$$
$$a_1=1,\quad a_2=-\frac{1}{3}$$
Ответ
а) $$a=\frac{7}{8}$$; б) $$a=-\frac{1}{3},\ 1$$.
