Упр.41.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = h(x) образует острый угол с положительным направлением оси х, если: a) h(х) = х3 — 3х2 + 1; б) h(x) = 4корень х — х; в) h(x) = х3 — х4 — 19; г) h(x) = tg х — 4х.
Тангенс угла наклона касательной равен производной в точке касания. Касательная образует острый угол с положительным направлением оси $$x$$, если
$$h'(x)>0.$$
$$h(x)=x^3-3x^2+1$$
$$h'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$
Решаем неравенство:
$$3x(x-2)>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x(x-2)>0.$$
Отсюда
$$x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty).$$
$$h(x)=4\sqrt{x}-x,\qquad x\ge 0$$
$$h'(x)=4\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{2}{\sqrt{x}}-1.$$
Требуется
$$\frac{2}{\sqrt{x}}-1>0.$$
При $$x>0$$ получаем
$$\frac{2}{\sqrt{x}}>1 \;\;\Longleftrightarrow\;\; 2>\sqrt{x} \;\;\Longleftrightarrow\;\; x<4.$$
С учётом области определения:
$$x\in(0;4).$$
$$h(x)=x^3-x^4-19$$
$$h'(x)=3x^2-4x^3=x^2(3-4x).$$
Решаем неравенство:
$$x^2(3-4x)>0.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, то нужно
$$3-4x>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x<\frac34,$$
и при этом $$x\ne 0$$.
Следовательно,
$$x\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac34\right).$$
$$h(x)=\tg x-4x$$
$$h'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-4.$$
Требуется
$$\frac{1}{\cos^2 x}-4>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \frac{1}{\cos^2 x}>4.$$
При $$\cos x\ne 0$$ имеем
$$1>4\cos^2 x \;\;\Longleftrightarrow\;\; \cos^2 x<\frac14 \;\;\Longleftrightarrow\;\; |\cos x|<\frac12.$$
Отсюда
$$\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$
но точки $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ исключаются, так как там $$\tg x$$ не определена.
Итак,
$$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$; б) $$x\in(0;4)$$; в) $$x\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac34\right)$$; г) $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$
