Упр.41.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = h(x) образует с положительным направлением оси абсцисс заданный угол а: a)f(x) = x2 — 3х + 19, а = 45°; б)f(x) = 4/(х + 2), а = 135°.

Тангенс угла наклона касательной к графику функции равен производной в точке касания, то есть $$f'(x)=\tg \alpha.$$

1. $$f(x)=x^2-3x+19,\quad \alpha=45^\circ.$$

   $$\tg 45^\circ=1.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2x-3.$$

   Приравниваем к тангенсу угла:

   $$2x-3=1,$$

   $$2x=4,$$

   $$x=2.$$

2. $$f(x)=\frac{4}{x+2},\quad \alpha=135^\circ.$$

   $$\tg 135^\circ=-1.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\left(\frac{4}{x+2}\right)’=-\frac{4}{(x+2)^2}.$$

   Приравниваем к тангенсу угла:

   $$-\frac{4}{(x+2)^2}=-1,$$

   $$\frac{4}{(x+2)^2}=1,$$

   $$4=(x+2)^2,$$

   $$x^2+4x=0,$$

   $$x(x+4)=0.$$

   Отсюда:

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=-4.$$

   При этом $$x\ne -2,$$ поэтому оба найденных значения подходят.

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=0,\,-4$$.