Упр.41.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = х2 sin x, f'(пи/2) = ? б) f(x) = х(1 + cos х), f'(пи) = ? в) f(x) = корень3 sin х + x2/пи + х sin пи/6, f'(пи/6) = ? г) f(x) = корень3 cos x — x cos пи/6 + x2/пи, f'(пи/3) = ?

1. $$f(x)=x^2\sin x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=(x^2)’\sin x+x^2(\sin x)’=2x\sin x+x^2\cos x.$$

   Подставим $$x=\frac{\pi}{2}$$:

   $$f’\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\sin\frac{\pi}{2}+\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\cos\frac{\pi}{2}=\pi\cdot 1+\frac{\pi^2}{4}\cdot 0=\pi.$$

2. $$f(x)=x(1+\cos x)$$

   Тогда

   $$f'(x)=(x)'(1+\cos x)+x(1+\cos x)’=1+\cos x-x\sin x.$$

   Подставим $$x=\pi$$:

   $$f'(\pi)=1+\cos\pi-\pi\sin\pi=1-1-\pi\cdot 0=0.$$

3. $$f(x)=\sqrt{3}\sin x+\frac{x^2}{\pi}+x\sin\frac{\pi}{6}$$

   Так как $$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$$, то

   $$f'(x)=\sqrt{3}\cos x+\frac{2x}{\pi}+\frac12.$$

   Подставим $$x=\frac{\pi}{6}$$:

   $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6}+\frac{2\cdot \pi/6}{\pi}+\frac12=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac13+\frac12=\frac32+\frac13+\frac12=\frac{7}{3}.$$

4. $$f(x)=\sqrt{3}\cos x-x\cos\frac{\pi}{6}+\frac{x^2}{\pi}$$

   Так как $$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, получаем

   $$f'(x)=-\sqrt{3}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2x}{\pi}.$$

   Подставим $$x=\frac{\pi}{3}$$:

   $$f’\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\cdot \pi/3}{\pi}=-\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac23=-\frac32-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac23.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$-\frac32-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac23=\frac{-9-3\sqrt{3}+4}{6}=\frac{-5-3\sqrt{3}}{6}.$$

Ответ

а) $$\pi$$; б) $$0$$; в) $$\frac{7}{3}$$; г) $$\frac{-5-3\sqrt{3}}{6}$$.