Упр.41.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = 10 — cos x, x0 = 3пи/2 б) f(x) = 2 tg x, x0 = 6пи в) f(x) = 4 — sin x, x0 = 6пи; г) f(x) = -4 ctg x, x0 = -пи/4

Тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке $$x_0$$ равен значению производной в этой точке: $$\tg \alpha = f'(x_0).$$

1. $$f(x)=10-\cos x,\quad x_0=\frac{3\pi}{2}$$

   $$f'(x)=(10-\cos x)’=\sin x$$

   $$\tg \alpha=f’\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\sin \frac{3\pi}{2}=-1$$

2. $$f(x)=2\tg x,\quad x_0=\frac{\pi}{4}$$

   $$f'(x)=(2\tg x)’=\frac{2}{\cos^2 x}$$

   $$\tg \alpha=f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2}{\cos^2 \frac{\pi}{4}}=\frac{2}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=4$$

3. $$f(x)=4-\sin x,\quad x_0=6\pi$$

   $$f'(x)=(4-\sin x)’=-\cos x$$

   $$\tg \alpha=f'(6\pi)=-\cos 6\pi=-1$$

4. $$f(x)=-4\ctg x,\quad x_0=-\frac{\pi}{4}$$

   $$f'(x)=(-4\ctg x)’=\frac{4}{\sin^2 x}$$

   $$\tg \alpha=f’\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4}{\sin^2\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{4}{\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=8$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$4$$; в) $$-1$$; г) $$8$$.