Упр.41.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = sin x/2 cos x/2, k = -корень2 / 4; б) f(x) = cos2 x/2, k = 1/2.

а) $$f(x)=\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}, \quad k=-\frac{\sqrt{2}}{4}.$$

Используем формулу $$2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\sin x.$$ Тогда

$$f(x)=\frac{1}{2}\sin x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{2}\cos x.$$

По условию угловой коэффициент касательной равен производной в данной точке, значит

$$\frac{1}{2}\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{4}.$$

Отсюда

$$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда

$$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$f(x)=\cos^2 \frac{x}{2}, \quad k=\frac{1}{2}.$$

Преобразуем функцию:

$$f(x)=\frac{1+\cos x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-\frac{1}{2}\sin x.$$

По условию

$$-\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{2}.$$

Следовательно,

$$\sin x=-1.$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$ б) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$