Упр.41.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) равен k, если: a) f(x) = корень x — х, k = 1 б) f(x) = корень x + 3х, k = 4.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной в этой точке, то есть нужно решить уравнение $$f'(x)=k.$$

1. $$f(x)=\sqrt{x}-x,\quad k=1.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1.$$

   Приравняем к $1$:

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=1$$

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}=2$$

   $$1=4\sqrt{x}$$

   $$\sqrt{x}=\frac14$$

   $$x=\left(\frac14\right)^2=\frac{1}{16}.$$

2. $$f(x)=\sqrt{x}+3x,\quad k=4.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+3.$$

   Приравняем к $4$:

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}+3=4$$

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}=1$$

   $$2\sqrt{x}=1$$

   $$\sqrt{x}=\frac12$$

   $$x=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{16}$$; б) $$\frac{1}{4}$$.