Упр.41.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Существует ли производная заданной функции в указанных точках? Если да, то найдите значения производных: a) у = х2 — 5|х| + 6, х0 = 2, х1 = 3, х2 = 0; б) у = |х2 — 5|х| + 6|, х0 = -2, z1 = 0, х2 = 2,5.

Подробный ответ

а) $$y=x^2-5|x|+6,\quad x_0=2,\ x_1=3,\ x_2=0.$$

Разобьём функцию по определению модуля:

$$ y= \begin{cases} x^2+5x+6, & x<0,\\ x^2-5x+6, & x\ge 0. \end{cases} $$

Точки $$x=2$$ и $$x=3$$ лежат в области $$x\ge 0$$, значит, там

$$y=x^2-5x+6,\qquad y’=2x-5.$$

Тогда

$$ y'(2)=2\cdot 2-5=-1,\qquad y'(3)=2\cdot 3-5=1. $$

В точке $$x=0$$ функция имеет излом, поэтому производная не существует.

б) $$y=\left|x^2-5|x|+6\right|,\quad x_0=-2,\ x_1=0,\ x_2=2{,}5.$$

Сначала рассмотрим выражение под внешним модулем:

$$ x^2-5|x|+6= \begin{cases} x^2+5x+6, & x<0,\\ x^2-5x+6, & x\ge 0. \end{cases} $$

Найдём, где оно обращается в нуль:

$$ x^2-5|x|+6=0 \;\Rightarrow\; |x|^2-5|x|+6=0. $$

Пусть $$t=|x|$$. Тогда

$$ t^2-5t+6=0,\qquad (t-2)(t-3)=0, $$

откуда $$|x|=2$$ или $$|x|=3$$, то есть $$x=-3,\,-2,\,2,\,3.$$

Следовательно,

$$ y= \begin{cases} -x^2-5x-6, & -3<x<-2,\\ x^2+5x+6, & x<-3 \text{ или } -2<x<0,\\ x^2-5x+6, & 0<x<2 \text{ или } x>3,\\ -x^2+5x-6, & 2<x<3. \end{cases} $$

Точки $$x=-2$$ и $$x=0$$ — точки излома, поэтому производная в них не существует.

При $$x=2{,}5$$ имеем $$2<2{,}5<3$$, значит,

$$ y=-x^2+5x-6,\qquad y’=-2x+5. $$

$$ y'(2{,}5)=-2\cdot 2{,}5+5=-5+5=0. $$