Упр.41.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Существует ли производная заданной функции в точке х0? Если да, то вычислите ее: a) у = |х — 2|(х — 2), х0 = 2; б) у = (х + 2)|x + 2|, x0 = -2.

а) $$y=|x-2|(x-2), \quad x_0=2.$$

По определению модуля:

$$ y= \begin{cases} -(x-2)^2, & x<2,\\ (x-2)^2, & x\ge 2. \end{cases} $$

В точке $$x=2$$ обе части дают одно и то же значение $$y(2)=0$$, а производные слева и справа равны:

$$ \frac{d}{dx}\bigl(-(x-2)^2\bigr)=-2(x-2), \qquad \frac{d}{dx}\bigl((x-2)^2\bigr)=2(x-2). $$

Тогда

$$ y’_-(2)=-2(2-2)=0, \qquad y’_+(2)=2(2-2)=0. $$

Следовательно, производная в точке $$x_0=2$$ существует и равна

$$ y'(2)=0. $$

б) $$y=(x+2)|x+2|, \quad x_0=-2.$$

По определению модуля:

$$ y= \begin{cases} -(x+2)^2, & x<-2,\\ (x+2)^2, & x\ge -2. \end{cases} $$

В точке $$x=-2$$ имеем $$y(-2)=0$$, а производные слева и справа:

$$ \frac{d}{dx}\bigl(-(x+2)^2\bigr)=-2(x+2), \qquad \frac{d}{dx}\bigl((x+2)^2\bigr)=2(x+2). $$

Тогда

$$ y’_-(-2)=-2(-2+2)=0, \qquad y’_+(-2)=2(-2+2)=0. $$

Значит, производная в точке $$x_0=-2$$ существует и равна

$$ y'(-2)=0. $$

Ответ

а) $$y'(2)=0$$; б) $$y'(-2)=0$$.