Упр.41.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = х3 + 2х, х0 = 2; б) у = корень(x + l)корень, xо = 1; в) y= 1/x(4/x — 2), x0 = -0,5; г) у = 2 sin x — 4х, x0 = пи/4

Скорость изменения функции в данной точке равна значению производной в этой точке.

1. $$y=x^3+2x,\quad x_0=2.$$

   $$y’=(x^3)’+(2x)’=3x^2+2.$$

   $$y'(2)=3\cdot 2^2+2=3\cdot 4+2=14.$$

2. $$y=\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x},\quad x_0=1.$$

   По правилу произведения:

   $$y’=(\sqrt{x+1})’\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\,(\sqrt{x})’$$

   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot \sqrt{x}+\sqrt{x+1}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

   $$y’=\frac{x+(x+1)}{2\sqrt{x+1}\sqrt{x}}=\frac{2x+1}{2\sqrt{x+1}\sqrt{x}}.$$

   $$y'(1)=\frac{2\cdot 1+1}{2\sqrt{2}\cdot 1}=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}.$$

3. $$y=\frac{1}{x}\left(\frac{4}{x}-2\right),\quad x_0=-0{,}5.$$

   Упростим выражение:

   $$y=\frac{4}{x^2}-\frac{2}{x}.$$

   Тогда

   $$y’=\left(\frac{4}{x^2}\right)’-\left(\frac{2}{x}\right)’=-\frac{8}{x^3}+\frac{2}{x^2}.$$

   Подставим $$x_0=-0{,}5$$:

   $$y'(-0{,}5)=-\frac{8}{(-0{,}5)^3}+\frac{2}{(-0{,}5)^2}=64+8=72.$$

4. $$y=2\sin x-4x,\quad x_0=\frac{\pi}{4}.$$

   $$y’=2\cos x-4.$$

   $$y’\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\cos\frac{\pi}{4}-4=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-4=\sqrt{2}-4.$$

Ответ

а) $$14$$; б) $$\frac{3\sqrt{2}}{4}$$; в) $$72$$; г) $$\sqrt{2}-4$$.