Упр.41.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Найдите те значения аргумента, при которых производная функции у = х3 — 3х принимает положительные значения; б) найдите те значения аргумента, при которых производная функции у = х5 — 5/4х4 принимает отрицательные значения; в) найдите те значения аргумента, при которых производная функции у = корень х + х принимает неотрицательные значения; г) найдите те значения аргумента, при которых производная функции у = 7 cosx +12 принимает неположительные значения.

Подробный ответ

а) $$y=x^3-3x$$
Найдём производную:
$$y’=(x^3-3x)’=3x^2-3.$$
Требуется, чтобы производная была положительной:
$$3x^2-3>0$$
$$3x^2>3$$
$$x^2>1$$
$$|x|>1.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$
б) $$y=x^5-\frac54x^4$$
Найдём производную:
$$y’=(x^5)’-\frac54(x^4)’=5x^4-5x^3.$$
Требуется, чтобы производная была отрицательной:
$$5x^4-5x^3<0$$
$$5x^3(x-1)<0$$
$$x^3(x-1)<0.$$
Произведение отрицательно при
$$x\in(0;1).$$
в) $$y=\sqrt{x}+x$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём производную:
$$y’=\left(\sqrt{x}\right)’+(x)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}+1.$$
Производная существует при $$x>0.$$
Требуется, чтобы она была неотрицательной:
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\ge 0.$$
При $$x>0$$ имеем $$\frac{1}{2\sqrt{x}}>0,$$ значит неравенство выполняется при всех $$x>0.$$
Следовательно,
$$x\in(0;+\infty).$$
г) $$y=7\cos x+12$$
Найдём производную:
$$y’=(7\cos x+12)’=-7\sin x.$$
Требуется, чтобы производная была неположительной:
$$-7\sin x\le 0$$
$$\sin x\ge 0.$$
Синус неотрицателен при
$$x\in[2\pi n;\pi+2\pi n],\quad n\in\mathbb{Z}.$$