Упр.41.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что производная заданной функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента: a) У = 1/x5 — 1,5x; б) у = -корень x + 14; в) у = 1,4 cos х — 3х; г) у = 12/x7 + 29.

Подробный ответ

$$y=\frac{1}{x^5}-1{,}5x$$
Найдём производную:
$$y’=\left(x^{-5}\right)’-\left(1{,}5x\right)’=-5x^{-6}-1{,}5=-\frac{5}{x^6}-1{,}5.$$
При всех допустимых значениях $$x$$ имеем $$x^6>0$$, значит $$-\frac{5}{x^6}<0$$. Кроме того, $$-1{,}5<0$$. Следовательно,
$$y'<0.$$
$$y=-\sqrt{x}+14$$
Найдём производную:
$$y’=-\left(\sqrt{x}\right)’+(14)’=-\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$
Область определения: $$x>0$$, поэтому $$2\sqrt{x}>0$$. Тогда
$$-\frac{1}{2\sqrt{x}}<0,$$
то есть $$y'<0$$ при всех допустимых значениях $$x$$.
$$y=1{,}4\cos x-3x$$
Найдём производную:
$$y’=-1{,}4\sin x-3.$$
Так как $$-1\le \sin x\le 1$$, то
$$-1{,}4\le -1{,}4\sin x\le 1{,}4.$$
Следовательно,
$$y’=-1{,}4\sin x-3\le 1{,}4-3=-1{,}6<0.$$
Значит, $$y'<0$$ при всех $$x$$.
$$y=\frac{12}{x^7}+29$$
Найдём производную:
$$y’=\left(12x^{-7}\right)’+(29)’=12\cdot(-7)x^{-8}=-\frac{84}{x^8}.$$
При всех допустимых значениях $$x$$ имеем $$x^8>0$$, значит
$$-\frac{84}{x^8}<0.$$
Следовательно, $$y'<0$$ при всех допустимых значениях $$x$$.