Упр.41.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что производная заданной функции принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента: a) у = 3х + 12; б) у = 2х3 + 15х; в) у = -2 sin х + 4х; г) у = 3x — 1,5 cos х.

Найдём производные данных функций и покажем, что они положительны при всех допустимых значениях аргумента.

1. $$y=3x+12$$

   $$y’=(3x+12)’=3.$$

   Так как $$3>0,$$ то $$y’>0$$ при всех $$x.$$

2. $$y=2x^3+15x$$

   $$y’=(2x^3)’+(15x)’=6x^2+15.$$

   Поскольку $$6x^2\ge 0,$$ то

   $$6x^2+15>0$$

   при любых $$x.$$ Значит, $$y’>0.$$

3. $$y=-2\sin x+4x$$

   $$y’=-2\cos x+4.$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$-2\le -2\cos x\le 2.$$

   Следовательно,

   $$y’=-2\cos x+4\ge 2>0.$$

4. $$y=3x-1{,}5\cos x$$

   $$y’=3+1{,}5\sin x.$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

   $$-1{,}5\le 1{,}5\sin x\le 1{,}5.$$

   Тогда

   $$y’=3+1{,}5\sin x\ge 1{,}5>0.$$

Ответ

Во всех пунктах производная положительна при всех допустимых значениях аргумента.