Упр.41.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = sin x /x, x0 = пи/2 б) y = (x + 1)/(x — 1), x0 = 2 в) y = cos x + x, x0 = пи г) y = 2x/(x + 1), x0 = 0.

1. $$y=\frac{\sin x}{x}, \quad x_0=\frac{\pi}{2}$$

   Найдём производную по правилу производной частного:
   $$y’=\frac{(\sin x)’ \cdot x-\sin x \cdot (x)’}{x^2}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}.$$

   Подставим $$x_0=\frac{\pi}{2}$$:
   $$ y’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}}{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2} =\frac{0-1}{\pi^2/4} =-\frac{4}{\pi^2}. $$

2. $$y=\frac{x+1}{x-1}, \quad x_0=2$$

   $$y’=\frac{(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)’}{(x-1)^2} =\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} =-\frac{2}{(x-1)^2}.$$

   Тогда
   $$y'(2)=-\frac{2}{(2-1)^2}=-2.$$

3. $$y=\frac{\cos x}{x}, \quad x_0=\pi$$

   $$y’=\frac{(\cos x)’ \cdot x-\cos x \cdot (x)’}{x^2} =\frac{-x\sin x-\cos x}{x^2} =-\frac{x\sin x+\cos x}{x^2}.$$

   Подставим $$x_0=\pi$$:
   $$ y'(\pi)=-\frac{\pi\sin\pi+\cos\pi}{\pi^2} =-\frac{0-1}{\pi^2} =\frac{1}{\pi^2}. $$

4. $$y=\frac{2x}{x+1}, \quad x_0=0$$

   $$y’=\frac{(2x)'(x+1)-2x(x+1)’}{(x+1)^2} =\frac{2(x+1)-2x}{(x+1)^2} =\frac{2}{(x+1)^2}.$$

   Тогда
   $$y'(0)=\frac{2}{(0+1)^2}=2.$$

Ответ

а) $$-\frac{4}{\pi^2}$$; б) $$-2$$; в) $$\frac{1}{\pi^2}$$; г) $$2$$.