Упр.41.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = tg x + корень пи корень x, x0 = пи/4 б) y = 2сtg x — 3tg x, x0 = пи/3 в) y = ctg x + пи2/x, x0 = -пи/6 г) y = (2x + 3)2 — 4tg x, x0 = 0.

1. $$y=\tg x+\sqrt{\pi}\cdot \sqrt{x}, \quad x_0=\frac{\pi}{4}$$

   Найдём производную:

   $$y’=(\tg x)’+\sqrt{\pi}\,(\sqrt{x})’=\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{x}}.$$

   Подставим $$x_0=\frac{\pi}{4}$$:

   $$ y’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\cos^2 \frac{\pi}{4}}+\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\frac{\pi}{4}}} =\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}+\frac{\sqrt{\pi}}{2\cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}} =2+1=3. $$

2. $$y=2\ctg x-3\tg x, \quad x_0=\frac{\pi}{3}$$

   Найдём производную:

   $$y’=2(\ctg x)’-3(\tg x)’=-\frac{2}{\sin^2 x}-\frac{3}{\cos^2 x}.$$

   Подставим $$x_0=\frac{\pi}{3}$$:

   $$ y’\!\left(\frac{\pi}{3}\right) =-\frac{2}{\sin^2 \frac{\pi}{3}}-\frac{3}{\cos^2 \frac{\pi}{3}} =-\left(2\cdot \frac{4}{3}+3\cdot 4\right) =-\left(\frac{8}{3}+12\right) =-\frac{44}{3}. $$

3. $$y=\ctg x+\frac{\pi^2}{x}, \quad x_0=-\frac{\pi}{6}$$

   Найдём производную:

   $$y’=(\ctg x)’+\pi^2\left(\frac{1}{x}\right)’=-\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{\pi^2}{x^2}.$$

   Подставим $$x_0=-\frac{\pi}{6}$$:

   $$ y’\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) =-\frac{1}{\sin^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}-\frac{\pi^2}{\left(-\frac{\pi}{6}\right)^2} =-\frac{1}{\left(-\frac12\right)^2}-\frac{\pi^2}{\frac{\pi^2}{36}} =-4-36=-40. $$

4. $$y=(2x+3)^2-4\tg x, \quad x_0=0$$

   Найдём производную:

   $$y’=2(2x+3)\cdot 2-4(\tg x)’=4(2x+3)-\frac{4}{\cos^2 x}.$$

   Подставим $$x_0=0$$:

   $$ y'(0)=4(2\cdot 0+3)-\frac{4}{\cos^2 0}=12-4=8. $$

Ответ

а) $$3$$; б) $$-\frac{44}{3}$$; в) $$-40$$; г) $$8$$.