Упр.41.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = sin 2x cos x — cos 2x sin x; б) y = sin x/3 cos 2x/3 + cos x/3 sin 2x/3; в) y = cos 3x cos 2x + sin 3x sin 2x; г) y = cos x/5 cos 4x/5 — sin x/5 sin 4x/5.

Используем формулы сложения:

$$\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha-\beta),$$
$$\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha+\beta),$$
$$\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha-\beta),$$
$$\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha+\beta).$$

1. $$y=\sin 2x\cos x-\cos 2x\sin x=\sin(2x-x)=\sin x.$$
   Тогда
   $$y’=(\sin x)’=\cos x.$$

2. $$y=\sin \frac{x}{3}\cos \frac{2x}{3}+\cos \frac{x}{3}\sin \frac{2x}{3}=\sin\left(\frac{x}{3}+\frac{2x}{3}\right)=\sin x.$$
   Тогда
   $$y’=(\sin x)’=\cos x.$$

3. $$y=\cos 3x\cos 2x+\sin 3x\sin 2x=\cos(3x-2x)=\cos x.$$
   Тогда
   $$y’=(\cos x)’=-\sin x.$$

4. $$y=\cos \frac{x}{5}\cos \frac{4x}{5}-\sin \frac{x}{5}\sin \frac{4x}{5}=\cos\left(\frac{x}{5}+\frac{4x}{5}\right)=\cos x.$$
   Тогда
   $$y’=(\cos x)’=-\sin x.$$

Ответ

а) $$y’=\cos x$$; б) $$y’=\cos x$$; в) $$y’=-\sin x$$; г) $$y’=-\sin x$$.