Упр.41.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = 3корень x / 2x + 9; б) y = sin x / x; в) y = -2корень x / 8 — 3x; г) y = cos x / x.

1. $$y=\frac{3\sqrt{x}}{2x+9}$$

   Применим правило производной частного:

   $$ y’=\frac{(3\sqrt{x})'(2x+9)-3\sqrt{x}\,(2x+9)’}{(2x+9)^2} $$

   $$ (3\sqrt{x})’=\frac{3}{2\sqrt{x}}, \qquad (2x+9)’=2 $$

   $$ y’=\frac{\frac{3}{2\sqrt{x}}(2x+9)-3\sqrt{x}\cdot 2}{(2x+9)^2} =\frac{3(2x+9)-12x}{2\sqrt{x}(2x+9)^2} =\frac{27-6x}{2\sqrt{x}(2x+9)^2} =\frac{3(9-2x)}{2\sqrt{x}(2x+9)^2} $$

2. $$y=\frac{\sin x}{x}$$

   По формуле производной частного:

   $$ y’=\frac{(\sin x)’ \cdot x-\sin x\cdot x’}{x^2} =\frac{x\cos x-\sin x}{x^2} $$

3. $$y=\frac{-2\sqrt{x}}{8-3x}$$

   $$ y’=\frac{(-2\sqrt{x})'(8-3x)-(-2\sqrt{x})(8-3x)’}{(8-3x)^2} $$

   $$ (-2\sqrt{x})’=-\frac{1}{\sqrt{x}}, \qquad (8-3x)’=-3 $$

   $$ y’=\frac{-\frac{1}{\sqrt{x}}(8-3x)-(-2\sqrt{x})(-3)}{(8-3x)^2} =\frac{-\frac{8-3x}{\sqrt{x}}-6\sqrt{x}}{(8-3x)^2} =-\frac{8-3x+6x}{\sqrt{x}(8-3x)^2} =-\frac{8+3x}{\sqrt{x}(8-3x)^2} $$

4. $$y=\frac{\cos x}{x}$$

   $$ y’=\frac{(\cos x)’\cdot x-\cos x\cdot x’}{x^2} =\frac{-x\sin x-\cos x}{x^2} =-\frac{x\sin x+\cos x}{x^2} $$

Ответ

$$ \text{а) } y’=\frac{3(9-2x)}{2\sqrt{x}(2x+9)^2}; \quad \text{б) } y’=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}; \quad \text{в) } y’=-\frac{8+3x}{\sqrt{x}(8-3x)^2}; \quad \text{г) } y’=-\frac{x\sin x+\cos x}{x^2}. $$