Упр.41.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = x3 / 2x + 4; б) y = x2 / x2 — 1; в) y = x2 / 3 — 4x; г) y = x / x2 + 1.
Для функции $$y=\frac{x^3}{2x+4}$$ применим правило производной частного:
$$ y’=\frac{(x^3)'(2x+4)-x^3(2x+4)’}{(2x+4)^2} =\frac{3x^2(2x+4)-2x^3}{(2x+4)^2}. $$
Упростим числитель и знаменатель:
$$ \frac{3x^2(2x+4)-2x^3}{(2x+4)^2} =\frac{6x^3+12x^2-2x^3}{(2x+4)^2} =\frac{4x^3+12x^2}{4(x+2)^2} =\frac{x^2(x+3)}{(x+2)^2}. $$
Для функции $$y=\frac{x^2}{x^2-1}$$:
$$ y’=\frac{(x^2)'(x^2-1)-x^2(x^2-1)’}{(x^2-1)^2} =\frac{2x(x^2-1)-x^2\cdot 2x}{(x^2-1)^2}. $$
$$ y’=\frac{2x^3-2x-2x^3}{(x^2-1)^2} =-\frac{2x}{(x^2-1)^2}. $$
Для функции $$y=\frac{x^2}{3-4x}$$:
$$ y’=\frac{(x^2)'(3-4x)-x^2(3-4x)’}{(3-4x)^2} =\frac{2x(3-4x)-x^2(-4)}{(3-4x)^2}. $$
$$ y’=\frac{6x-8x^2+4x^2}{(3-4x)^2} =\frac{6x-4x^2}{(3-4x)^2} =\frac{2x(3-2x)}{(3-4x)^2}. $$
Для функции $$y=\frac{x}{x^2+1}$$:
$$ y’=\frac{x'(x^2+1)-x(x^2+1)’}{(x^2+1)^2} =\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}. $$
$$ y’=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}. $$
Ответ
а) $$y’=\frac{x^2(x+3)}{(x+2)^2}$$;
б) $$y’=-\frac{2x}{(x^2-1)^2}$$;
в) $$y’=\frac{2x(3-2x)}{(3-4x)^2}$$;
г) $$y’=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$$.
