Упр.41.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = x3 tg x; б) у =cos x ctg x; в) у = 1/x ctg x; г) у = sin x tg x.

1. $$y=x^3\cdot \tg x$$

   Применим правило производной произведения:

   $$y’=(x^3)’\cdot \tg x+x^3\cdot (\tg x)’$$

   $$y’=3x^2\tg x+x^3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

2. $$y=\cos x\cdot \ctg x$$

   $$y’=(\cos x)’\cdot \ctg x+\cos x\cdot (\ctg x)’$$

   $$y’=-\sin x\cdot \ctg x-\cos x\cdot \frac{1}{\sin^2 x}$$

3. $$y=\frac{1}{x}\cdot \ctg x$$

   $$y’=\left(\frac{1}{x}\right)’\cdot \ctg x+\frac{1}{x}\cdot (\ctg x)’$$

   $$y’=-\frac{\ctg x}{x^2}-\frac{1}{x\sin^2 x}$$

4. $$y=\sin x\cdot \tg x$$

   $$y’=(\sin x)’\cdot \tg x+\sin x\cdot (\tg x)’$$

   $$y’=\cos x\cdot \tg x+\sin x\cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

Ответ

$$\begin{aligned} \text{a) }& y’=3x^2\tg x+\frac{x^3}{\cos^2 x};\\ \text{б) }& y’=-\sin x\cdot \ctg x-\frac{\cos x}{\sin^2 x};\\ \text{в) }& y’=-\frac{\ctg x}{x^2}-\frac{1}{x\sin^2 x};\\ \text{г) }& y’=\cos x\cdot \tg x+\frac{\sin x}{\cos^2 x}. \end{aligned}$$