Упр.40.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке х: a) y = x2 + 2x; б) y = 1/x; в) y = 3×2 — 4x; г) y = 4/x.

1. $$y=x^2+2x$$

   $$f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^2+2(x+\Delta x)=x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+2x+2\Delta x$$

   $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=2x\Delta x+(\Delta x)^2+2\Delta x$$

   $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x+2$$

   $$y’=\lim_{\Delta x\to 0}\left(2x+\Delta x+2\right)=2x+2$$

2. $$y=\frac{1}{x}$$

   $$f(x+\Delta x)=\frac{1}{x+\Delta x}$$

   $$\Delta y=\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}=\frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)}=-\frac{\Delta x}{x(x+\Delta x)}$$

   $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{x(x+\Delta x)}$$

   $$y’=\lim_{\Delta x\to 0}\left(-\frac{1}{x(x+\Delta x)}\right)=-\frac{1}{x^2}$$

3. $$y=3x^2-4x$$

   $$f(x+\Delta x)=3(x+\Delta x)^2-4(x+\Delta x)=3x^2+6x\Delta x+3(\Delta x)^2-4x-4\Delta x$$

   $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=6x\Delta x+3(\Delta x)^2-4\Delta x$$

   $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=6x+3\Delta x-4$$

   $$y’=\lim_{\Delta x\to 0}\left(6x+3\Delta x-4\right)=6x-4$$

4. $$y=\frac{4}{x}$$

   $$f(x+\Delta x)=\frac{4}{x+\Delta x}$$

   $$\Delta y=\frac{4}{x+\Delta x}-\frac{4}{x}=\frac{4x-4(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)}=-\frac{4\Delta x}{x(x+\Delta x)}$$

   $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{4}{x(x+\Delta x)}$$

   $$y’=\lim_{\Delta x\to 0}\left(-\frac{4}{x(x+\Delta x)}\right)=-\frac{4}{x^2}$$

Ответ

а) $$y’=2x+2$$; б) $$y’=-\frac{1}{x^2}$$; в) $$y’=6x-4$$; г) $$y’=-\frac{4}{x^2}$$.