Упр.40.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = |x + 4|, x0 = -4; б) y = -3x|x|, x0 = 0; в) y = 2x|x|, x0 = 0; г) y = (x — 1)|x — 1|, x0 = 1.

Подробный ответ

$$y=|x+4|,\quad x_0=-4.$$
По определению модуля:
$$ y= \begin{cases} -x-4, & x<-4,\\ x+4, & x\ge -4. \end{cases} $$
Точка $$x_0=-4$$ является точкой излома, значит производная в ней не существует.
$$y=-3x|x|,\quad x_0=0.$$
По определению модуля:
$$ y= \begin{cases} 3x^2, & x<0,\\ -3x^2, & x\ge 0. \end{cases} $$
Так как $$x_0=0$$ принадлежит ветви $$y=-3x^2$$, найдём производную в этой точке:
$$ \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \frac{-3(0+\Delta x)^2-(-3\cdot 0^2)}{\Delta x} = \frac{-3(\Delta x)^2}{\Delta x} = -3\Delta x. $$
$$ \lim_{\Delta x\to 0}(-3\Delta x)=0. $$
$$y=2x|x|,\quad x_0=0.$$
По определению модуля:
$$ y= \begin{cases} -2x^2, & x<0,\\ 2x^2, & x\ge 0. \end{cases} $$
Точка $$x_0=0$$ принадлежит ветви $$y=2x^2$$, поэтому:
$$ \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \frac{2(0+\Delta x)^2-2\cdot 0^2}{\Delta x} = \frac{2(\Delta x)^2}{\Delta x} = 2\Delta x. $$
$$ \lim_{\Delta x\to 0}2\Delta x=0. $$
$$y=(x-1)|x-1|,\quad x_0=1.$$
По определению модуля:
$$ y= \begin{cases} -(x-1)^2, & x<1,\\ (x-1)^2, & x\ge 1. \end{cases} $$
Точка $$x_0=1$$ принадлежит ветви $$y=(x-1)^2$$, значит:
$$ \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \frac{(1-1+\Delta x)^2-(1-1)^2}{\Delta x} = \frac{(\Delta x)^2}{\Delta x} = \Delta x. $$
$$ \lim_{\Delta x\to 0}\Delta x=0. $$