Упр.40.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке х0 или докажите, что она не существует: a) y = 3x, если x > = 0, -2x + 3, если x < 0; x0 = 0. б) y = 2x2, если x > = 0, -2×2, если x < 0; x0 = 0. в) y = 4x + 2, если x > = 3, 2x — 4, если x < 3; x0 = 3. г) y = x2, если x = < 1, 2x - 1, если x > 1; x0 = 1.

а) При $$x_0=0$$ рассматриваем односторонние приращения.

Если $$\Delta x>0$$, то $$f(0+\Delta x)=3\Delta x$$, значит

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3\Delta x-0}{\Delta x}=3.$$

Если $$\Delta x<0$$, то $$f(0+\Delta x)=-2\Delta x+3$$, а $$f(0)=3$$, поэтому

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(-2\Delta x+3)-3}{\Delta x}=-2.$$

Односторонние пределы различны, значит, производная в точке $$x_0=0$$ не существует.

б) При $$x_0=0$$ функция задаётся формулой $$y=2x^2$$ при $$x\ge 0$$ и $$y=-2x^2$$ при $$x<0$$. Найдём производную по определению.

Для $$\Delta x>0$$:

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2(\Delta x)^2-0}{\Delta x} = 2\Delta x, $$

поэтому

$$\lim_{\Delta x\to 0+}\frac{\Delta y}{\Delta x}=0.$$

Для $$\Delta x<0$$:

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-2(\Delta x)^2-0}{\Delta x} = -2\Delta x, $$

поэтому

$$\lim_{\Delta x\to 0-}\frac{\Delta y}{\Delta x}=0.$$

Оба односторонних предела равны, значит, производная существует и равна $$0$$.

в) При $$x_0=3$$:

Если $$\Delta x>0$$, то используем $$y=4x+2$$:

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(4(3+\Delta x)+2)-14}{\Delta x} = \frac{4\Delta x}{\Delta x} =4. $$

Если $$\Delta x<0$$, то используем $$y=2x-4$$:

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(2(3+\Delta x)-4)-2}{\Delta x} = \frac{2\Delta x}{\Delta x} =2. $$

Односторонние пределы различны, значит, производная в точке $$x_0=3$$ не существует.

г) При $$x_0=1$$:

Для $$\Delta x<0$$ используем $$y=x^2$$:

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x} = \frac{2\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x} = 2+\Delta x, $$

откуда

$$\lim_{\Delta x\to 0-}\frac{\Delta y}{\Delta x}=2.$$

Для $$\Delta x>0$$ используем $$y=2x-1$$:

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(2(1+\Delta x)-1)-1}{\Delta x} = \frac{2\Delta x}{\Delta x} =2, $$

откуда

$$\lim_{\Delta x\to 0+}\frac{\Delta y}{\Delta x}=2.$$

Следовательно, производная существует и равна $$2$$.

Ответ

а) не существует; б) $$0$$; в) не существует; г) $$2$$.