Упр.40.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = корень x; б) y = 1/x2; в) y = корень x + 1; г) y = x3.

Подробный ответ

а) $$y=\sqrt{x}$$
По определению производной:
$$f(x+\Delta x)=\sqrt{x+\Delta x}$$
$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}$$
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}$$
Рационализуем числитель:
$$ \frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x} = \frac{(\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x})(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})} = \frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})} $$
Тогда
$$ y’=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}} =\frac{1}{2\sqrt{x}}. $$
б) $$y=\frac{1}{x^2}$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
$$f(x+\Delta x)=\frac{1}{(x+\Delta x)^2}$$
$$\Delta y=\frac{1}{(x+\Delta x)^2}-\frac{1}{x^2} =\frac{x^2-(x+\Delta x)^2}{x^2(x+\Delta x)^2}$$
$$\Delta y=\frac{x^2-x^2-2x\Delta x-(\Delta x)^2}{x^2(x+\Delta x)^2} =-\frac{\Delta x(2x+\Delta x)}{x^2(x+\Delta x)^2}$$
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{2x+\Delta x}{x^2(x+\Delta x)^2}$$
$$y’=\lim_{\Delta x\to 0}\left(-\frac{2x+\Delta x}{x^2(x+\Delta x)^2}\right) =-\frac{2x}{x^2\cdot x^2} =-\frac{2}{x^3}.$$
в) $$y=\sqrt{x}+1$$
Производная постоянной равна нулю, поэтому
$$ (\sqrt{x}+1)’=(\sqrt{x})’+0=\frac{1}{2\sqrt{x}}. $$
г) $$y=x^3$$
$$f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^3=x^3+3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3$$
$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3$$
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=3x^2+3x\Delta x+(\Delta x)^2$$
$$y’=\lim_{\Delta x\to 0}\left(3x^2+3x\Delta x+(\Delta x)^2\right)=3x^2.$$