Упр.4.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Существует ли геометрическая прогрессия, все члены ко торой различны и расположены на отрезке: a [1; 2]; 6 [1; 1,2]? Если существует, то приведите соответствующий пример если нe существует, то докажите это.

Подробный ответ

Пусть $$b_1, b_2, \dots, b_n$$ — геометрическая прогрессия, все члены которой различны и лежат на отрезке $$[1;2]$$.

Тогда знаменатель прогрессии не равен $$1$$, то есть $$q \ne 1$$. Кроме того, все члены прогрессии положительны, значит $$q>0$$.

Рассмотрим два случая.

1) $$0<q<1$$. Тогда члены прогрессии убывают. При достаточно большом $$n$$ можно получить сколь угодно малый член, то есть существует номер $$k$$, для которого

$$b_k=b_1q^{k-1}<1.$$

Это противоречит условию, так как все члены должны лежать на отрезке $$[1;2]$$.

2) $$q>1$$. Тогда члены прогрессии возрастают. При достаточно большом $$n$$ можно получить сколь угодно большой член, то есть существует номер $$k$$, для которого

$$b_k=b_1q^{k-1}>2.$$

Это снова противоречит условию, так как все члены должны лежать на отрезке $$[1;2]$$.

Следовательно, геометрической прогрессии с различными членами, все из которых лежат на отрезке $$[1;2]$$, не существует.