Упр.4.34(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть а € [-4; 0]. Найдите отрезок наименьшей длины, содержащей все числа вида: а) 1 + 2a2; в) 5a3;

Так как $$a \in [-4;0]$$, найдём наименьший и наибольший значения каждого выражения на этом отрезке.

1. $$1+2a^2$$

   При $$a=-4$$ получаем $$1+2\cdot(-4)^2=1+32=33$$, а при $$a=0$$ получаем $$1+2\cdot0^2=1$$.

   Значит, все значения лежат на отрезке $$[1;33]$$.

2. $$5a^2+a$$

   Это парабола, ветви направлены вверх. Её вершина:

   $$a_0=-\frac{1}{2\cdot 5}=-\frac{1}{10}$$

   Так как $$-\frac{1}{10}\in[-4;0]$$, находим значение в вершине:

   $$5\left(-\frac{1}{10}\right)^2-\frac{1}{10}=\frac{5}{100}-\frac{1}{10}=\frac{1}{20}-\frac{2}{20}=-\frac{1}{20}$$

   На концах отрезка:

   $$5\cdot(-4)^2+(-4)=80-4=76,\qquad 5\cdot0^2+0=0$$

   Следовательно, все значения лежат на отрезке $$\left[-\frac{1}{20};76\right]$$.

3. $$5a^3$$

   Функция $$5a^3$$ возрастает на всей числовой прямой, значит на отрезке $$[-4;0]$$:

   $$5\cdot(-4)^3=5\cdot(-64)=-320,\qquad 5\cdot0^3=0$$

   Искомый отрезок: $$[-320;0]$$.

4. $$\frac{2a+1}{3a-1}$$

   На отрезке $$[-4;0]$$ знаменатель не обращается в нуль, так как $$3a-1\le -1$$.

   Найдём значения на концах:

   $$\frac{2(-4)+1}{3(-4)-1}=\frac{-7}{-13}=\frac{7}{13},\qquad \frac{2\cdot0+1}{3\cdot0-1}=-1$$

   Следовательно, все значения лежат на отрезке $$\left[-1;\frac{7}{13}\right]$$.

Ответ

а) $$[1;33]$$; б) $$\left[-\frac{1}{20};76\right]$$; в) $$[-320;0]$$; г) $$\left[-1;\frac{7}{13}\right]$$.