Упр.4.32(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график заданной функции на отрезке [-4; 4]: а) у = [x]; в) у = [x + 4]; б) у = [1 — x]; г) у = р~2^]-

а) Функция $$y=[x]$$ — это целая часть числа. На отрезке $$[-4;4]$$ она принимает постоянные значения на промежутках:

$$ \begin{aligned} &y=-4,\quad x\in[-4;-3),\\ &y=-3,\quad x\in[-3;-2),\\ &y=-2,\quad x\in[-2;-1),\\ &y=-1,\quad x\in[-1;0),\\ &y=0,\quad x\in[0;1),\\ &y=1,\quad x\in[1;2),\\ &y=2,\quad x\in[2;3),\\ &y=3,\quad x\in[3;4),\\ &y=4,\quad x=4. \end{aligned} $$

б) Для функции $$y=[1-x]$$ рассмотрим значения выражения $$1-x$$ на отрезке $$[-4;4]$$:

$$ \begin{aligned} &x\in[-4;-3)\Rightarrow 4<1-x\le 5 \Rightarrow y=4,\\ &x\in[-3;-2)\Rightarrow 3<1-x\le 4 \Rightarrow y=3,\\ &x\in[-2;-1)\Rightarrow 2<1-x\le 3 \Rightarrow y=2,\\ &x\in[-1;0)\Rightarrow 1<1-x\le 2 \Rightarrow y=1,\\ &x\in[0;1)\Rightarrow 0<1-x\le 1 \Rightarrow y=0,\\ &x\in[1;2)\Rightarrow -1<1-x\le 0 \Rightarrow y=-1,\\ &x\in[2;3)\Rightarrow -2<1-x\le -1 \Rightarrow y=-2,\\ &x\in[3;4)\Rightarrow -3<1-x\le -2 \Rightarrow y=-3,\\ &x=4\Rightarrow y=[-3]=-3. \end{aligned} $$

График можно получить из графика функции $$y=[x]$$ отражением относительно оси $$Oy$$ и последующим сдвигом вверх на $$1$$.

в) Так как $$[x+4]=[x]+4$$, то график функции $$y=[x+4]$$ получается из графика $$y=[x]$$ параллельным переносом на $$4$$ единицы вверх.

г) Построим график функции $$y=\left[\dfrac{1-x}{2}\right]$$. Найдём, на каких промежутках значение выражения $$\dfrac{1-x}{2}$$ попадает в один и тот же промежуток между соседними целыми числами:

$$ \begin{aligned} &x\in[-4;-3)\Rightarrow 2\le \frac{1-x}{2}<2.5 \Rightarrow y=2,\\ &x\in[-3;-1)\Rightarrow 1\le \frac{1-x}{2}<2 \Rightarrow y=1,\\ &x\in[-1;1)\Rightarrow 0\le \frac{1-x}{2}<1 \Rightarrow y=0,\\ &x\in[1;3)\Rightarrow -1\le \frac{1-x}{2}<0 \Rightarrow y=-1,\\ &x\in[3;4]\Rightarrow -2\le \frac{1-x}{2}<-1 \Rightarrow y=-2. \end{aligned} $$

Значит, на отрезке $$[-4;4]$$

$$ y= \begin{cases} 2, & -4\le x<-3,\\ 1, & -3\le x<-1,\\ 0, & -1\le x<1,\\ -1, & 1\le x<3,\\ -2, & 3\le x\le 4. \end{cases} $$

Ответ

а) $$y=[x]$$ — ступенчатая функция с указанными значениями на промежутках $$[-4;4]$$.
б) $$y=[1-x]$$ — ступенчатая функция, получаемая отражением графика $$y=[x]$$ относительно оси $$Oy$$ и сдвигом вверх на $$1$$.
в) $$y=[x+4]$$ — график $$y=[x]$$, сдвинутый вверх на $$4$$.
г)
$$ y= \begin{cases} 2, & -4\le x<-3,\\ 1, & -3\le x<-1,\\ 0, & -1\le x<1,\\ -1, & 1\le x<3,\\ -2, & 3\le x\le 4. \end{cases} $$