Упр.4.27(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 4.27. Постройте на координатной плоскости xOy график соотношения: а) [x] = [у]; в) [x] < [y]; б) M > [y]; г) [x — 1] > [у + 1].

Пусть $$[x]=n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$ Тогда $$n\le x<n+1.$$ Аналогично, если $$[y]=m,$$ то $$m\le y<m+1.$$

1. $$[x]=[y]$$

   Это означает, что $$x$$ и $$y$$ лежат в одном и том же промежутке вида $$[n,n+1),\ n\in \mathbb{Z}.$$

   Следовательно, график состоит из всех точек, для которых

   $$n\le x<n+1,\quad n\le y<n+1,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2. $$[x]>[y]$$

   Пусть $$[y]=n,\ n\in \mathbb{Z}.$$ Тогда $$n\le y<n+1.$$ Из неравенства $$[x]>n$$ получаем $$[x]\ge n+1,$$ а значит, $$x\ge n+1.$$

   Итак, нужно построить множество точек, удовлетворяющих системе

   $$x\ge n+1,\quad n\le y<n+1,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3. $$[x]<[y]$$

   Рассуждая аналогично, получаем систему

   $$y\ge n+1,\quad n\le x<n+1,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

4. $$[x-1]>[y+1]$$

   Пусть $$[y+1]=n,\ n\in \mathbb{Z}.$$ Тогда $$n\le y+1<n+1,$$ то есть

   $$n-1\le y<n.$$

   Из неравенства $$[x-1]>n$$ следует $$[x-1]\ge n+1,$$ значит

   $$x-1\ge n+1,\quad x\ge n+2.$$

   Следовательно, график задаётся системой

   $$x\ge n+2,\quad n-1\le y<n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$n\le x<n+1,\ n\le y<n+1,\ n\in \mathbb{Z}$$;
б) $$x\ge n+1,\ n\le y<n+1,\ n\in \mathbb{Z}$$;
в) $$y\ge n+1,\ n\le x<n+1,\ n\in \mathbb{Z}$$;
г) $$x\ge n+2,\ n-1\le y<n,\ n\in \mathbb{Z}$$.