Упр.4.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть e > 0. Множество всех точек x числовой прямой, удовлетворяющих неравенству а — e < x < а + e, называют е-окрестностъю точки а, при этом точки а - e и а + e называют граничными точками е-окрестности точки а. При каких e > 0 точка 12,35 лежит в е-окрестности точки:

Точка $$x_0$$ лежит в $$\varepsilon$$-окрестности точки $$a$$, если выполняется неравенство

$$a-\varepsilon<x_0<a+\varepsilon.$$

1. а) Для точки $$12{,}35$$ и центра $$12{,}5$$ получаем:

   $$12{,}5-\varepsilon<12{,}35<12{,}5+\varepsilon.$$

   Из левой части:

   $$12{,}5-\varepsilon<12{,}35$$

   $$-\varepsilon<-0{,}15$$

   $$\varepsilon>0{,}15.$$

   Правая часть даёт:

   $$12{,}35<12{,}5+\varepsilon \;\Rightarrow\; \varepsilon>-0{,}15,$$

   что верно при любом $$\varepsilon>0$$.

   Значит, $$\varepsilon>0{,}15.$$

2. б) Для точки $$12{,}35$$ и центра $$12{,}2$$:

   $$12{,}2-\varepsilon<12{,}35<12{,}2+\varepsilon.$$

   Из левой части:

   $$12{,}2-\varepsilon<12{,}35$$

   $$-\varepsilon<0{,}15$$

   $$\varepsilon>-0{,}15,$$

   что верно при любом $$\varepsilon>0$$.

   Из правой части:

   $$12{,}35<12{,}2+\varepsilon$$

   $$\varepsilon>0{,}15.$$

   Следовательно, $$\varepsilon>0{,}15.$$

Ответ

а) $$\varepsilon>0{,}15$$; б) $$\varepsilon>0{,}15$$.