Упр.4.2(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) Отметьте на числовой прямой нули функции у = (x — 1 2(31х — 37 (41x — 49); б) определите промежутки знакопостоянства функции у = (x — 1 2(31х — 37 (41x — 49); в) отметьте на числовой прямой нули функции у = (49x + 59 2(31х + 37 3(41х + 49); г) определите промежутки знакопостоянства функции у = (49x + 59 2(31х + 37 3(41х + 49).

Рассмотрим функцию

$$y=(x-1)^2(31x-37)(41x-49).$$

Нули функции находятся из уравнения

$$ (x-1)^2(31x-37)(41x-49)=0. $$

Отсюда

$$x=1,\quad x=\frac{37}{31},\quad x=\frac{49}{41}.$$

Так как множитель $$ (x-1)^2 $$ всегда неотрицателен и знак не меняет, знак функции определяется произведением линейных множителей $$31x-37$$ и $$41x-49$$.

Упорядочим нули:

$$1<\frac{49}{41}<\frac{37}{31}.$$

а) Нули функции:

$$x=1,\ \frac{49}{41},\ \frac{37}{31}.$$

б) Определим знаки на промежутках:

$$ \begin{aligned} (-\infty,1)&:\quad y>0,\\ (1,\frac{49}{41})&:\quad y>0,\\ (\frac{49}{41},\frac{37}{31})&:\quad y<0,\\ (\frac{37}{31},+\infty)&:\quad y>0. \end{aligned} $$

Значит, функция положительна на промежутках $$(-\infty,1)\cup(1,\frac{49}{41})\cup(\frac{37}{31},+\infty)$$ и отрицательна на промежутке $$\left(\frac{49}{41},\frac{37}{31}\right).$$

Рассмотрим функцию

$$y=(49x+59)^2(31x+37)^3(41x+49).$$

Нули функции:

$$49x+59=0,\quad 31x+37=0,\quad 41x+49=0,$$

то есть

$$x=-\frac{59}{49},\quad x=-\frac{37}{31},\quad x=-\frac{49}{41}.$$

Упорядочим их:

$$-\frac{59}{49}<-\frac{49}{41}<-\frac{37}{31}.$$

в) Нули функции:

$$x=-\frac{59}{49},\ -\frac{49}{41},\ -\frac{37}{31}.$$

г) Так как множитель $$ (49x+59)^2 $$ знак не меняет, а множитель $$ (31x+37)^3 $$ меняет знак, как и $$31x+37$$, получаем:

$$ \begin{aligned} (-\infty,-\frac{59}{49})&:\quad y<0,\\ (-\frac{59}{49},-\frac{49}{41})&:\quad y>0,\\ (-\frac{49}{41},-\frac{37}{31})&:\quad y<0,\\ (-\frac{37}{31},+\infty)&:\quad y>0. \end{aligned} $$

Следовательно, функция положительна на промежутках $$\left(-\frac{59}{49},-\frac{49}{41}\right)\cup\left(-\frac{37}{31},+\infty\right)$$ и отрицательна на промежутках $$(-\infty,-\frac{59}{49})\cup\left(-\frac{49}{41},-\frac{37}{31}\right).$$

Ответ

а) $$x=1,\ \frac{49}{41},\ \frac{37}{31}.$$

б) $$y>0$$ на $$(-\infty,1)\cup(1,\frac{49}{41})\cup(\frac{37}{31},+\infty),$$ $$y<0$$ на $$\left(\frac{49}{41},\frac{37}{31}\right).$$

в) $$x=-\frac{59}{49},\ -\frac{49}{41},\ -\frac{37}{31}.$$

г) $$y>0$$ на $$\left(-\frac{59}{49},-\frac{49}{41}\right)\cup\left(-\frac{37}{31},+\infty\right),$$ $$y<0$$ на $$(-\infty,-\frac{59}{49})\cup\left(-\frac{49}{41},-\frac{37}{31}\right).$$