Упр.4.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Ha числовой прямой отмечены точки A(12a + 6а2) и B(-2a + 3). При каких значениях а точка C лежит между A и By если: а) C(-2); б) C(a ?

Точка $$C$$ лежит между точками $$A$$ и $$B$$ тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий:

$$A<C<B \quad \text{или} \quad B<C<A.$$

а) $$C(-2)$$

Имеем $$A=12a+6a^2$$, $$B=-2a+3$$.

1) Пусть $$A<C<B$$. Тогда

$$ \begin{cases} 12a+6a^2<-2,\\ -2<-2a+3. \end{cases} $$

Из первого неравенства:

$$ 6a^2+12a+2<0 \\ 3a^2+6a+1<0. $$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$ D=6^2-4\cdot 3\cdot 1=36-12=24, $$
$$ a_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{24}}{2\cdot 3}=-1\pm\frac{\sqrt6}{3}. $$

Значит,

$$ -1-\frac{\sqrt6}{3}<a<-1+\frac{\sqrt6}{3}. $$

Из второго неравенства:

$$ -2<-2a+3 \\ -5<-2a \\ a<\frac52. $$

Пересечение даёт:

$$ -1-\frac{\sqrt6}{3}<a<-1+\frac{\sqrt6}{3}. $$

2) Пусть $$B<C<A$$. Тогда

$$ \begin{cases} -2a+3<-2,\\ -2<12a+6a^2. \end{cases} $$

Из первого неравенства:

$$ -2a<-5 \\ a>\frac52. $$

Из второго:

$$ 12a+6a^2>-2 \\ 3a^2+6a+1>0. $$

Корни этого трёхчлена те же:

$$ a=-1\pm\frac{\sqrt6}{3}. $$

Тогда

$$ a<-1-\frac{\sqrt6}{3} \quad \text{или} \quad a>-1+\frac{\sqrt6}{3}. $$

С учётом $$a>\frac52$$ получаем:

$$ a>\frac52. $$

Итак,

$$ -1-\frac{\sqrt6}{3}<a<-1+\frac{\sqrt6}{3} \quad \text{или} \quad a>\frac52. $$

б) $$C(a)$$

Рассмотрим два случая.

1) $$A<C<B$$:

$$ \begin{cases} 12a+6a^2<a,\\ a<-2a+3. \end{cases} $$

Первое неравенство:

$$ 6a^2+11a<0 \\ a(6a+11)<0. $$

Отсюда

$$ -\frac{11}{6}<a<0. $$

Второе неравенство:

$$ 3a<3 \\ a<1. $$

Пересечение даёт:

$$ -\frac{11}{6}<a<0. $$

2) $$B<C<A$$:

$$ \begin{cases} -2a+3<a,\\ a<12a+6a^2. \end{cases} $$

Из первого неравенства:

$$ -3a<-3 \\ a>1. $$

Из второго:

$$ 6a^2+11a>0 \\ a(6a+11)>0. $$

Отсюда

$$ a<-\frac{11}{6} \quad \text{или} \quad a>0. $$

С учётом $$a>1$$ получаем:

$$ a>1. $$

Следовательно,

$$ -\frac{11}{6}<a<0 \quad \text{или} \quad a>1. $$

Ответ

а) $$-1-\frac{\sqrt6}{3}<a<-1+\frac{\sqrt6}{3}$$ или $$a>\frac52$$;

б) $$-\frac{11}{6}<a<0$$ или $$a>1$$.