Упр.4.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Ha числовой прямой отмечены точки A(2a — 6а2) и B(2a — 3). При каких значениях а точка C лежит между A и By если: а) C(2); б) C(-1 ?

а) $C(2)$.

Точка $C$ лежит между $A$ и $B$, если число $2$ находится между координатами точек $A(2a-6a^2)$ и $B(2a-3)$.

Составим систему неравенств:

$$ 2a-6a^2<2,\qquad 2a-3>2 $$

Из первого неравенства:

$$ 2a-6a^2-2<0 $$
$$ 3a^2-a+1>0 $$

Дискриминант:

$$ D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot 1=1-12=-11<0 $$

Так как старший коэффициент положителен, то $$3a^2-a+1>0$$ при любом $a$.

Из второго неравенства:

$$ 2a-3>2 $$
$$ 2a>5 $$
$$ a>\frac52 $$

Значит, при $$a>\frac52$$ точка $C(2)$ лежит между $A$ и $B$.

б) $C(-1)$.

Теперь число $-1$ должно лежать между координатами точек $A$ и $B$.

Рассмотрим два возможных случая.

1) $$2a-6a^2<-1,\qquad 2a-3>-1$$

Из второго неравенства:

$$ 2a>2 $$
$$ a>1 $$

Из первого:

$$ 2a-6a^2+1<0 $$
$$ 6a^2-2a-1>0 $$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$ D=(-2)^2-4\cdot 6\cdot(-1)=4+24=28 $$
$$ a=\frac{2\pm\sqrt{28}}{12}=\frac{1\pm\sqrt7}{6} $$

Тогда

$$ 6a^2-2a-1>0 \quad \Longrightarrow \quad a<\frac{1-\sqrt7}{6}\ \text{или}\ a>\frac{1+\sqrt7}{6} $$

С учётом условия $$a>1$$ получаем $$a>1$$.

2) $$2a-6a^2>-1,\qquad 2a-3<-1$$

Из второго неравенства:

$$ 2a<2 $$
$$ a<1 $$

Из первого:

$$ 2a-6a^2+1>0 $$
$$ 6a^2-2a-1<0 $$

Тогда

$$ \frac{1-\sqrt7}{6}<a<\frac{1+\sqrt7}{6} $$

С учётом условия $$a<1$$ получаем

$$ \frac{1-\sqrt7}{6}<a<1 $$

Ответ

а) $$a>\frac52$$;
б) $$\frac{1-\sqrt7}{6}<a<1$$ или $$a>1$$.