Упр.4.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Число m называют точной верхней границей числового множества Xy если для любого числа x € X справедливо неравенство x < m и для любого числа e > 0 (e — буква греческого алфавита эпсилон) существует такое число xt € Xy что xt > m — e. Найдите точную верхнюю границу множества X, если:

1. а) $$X=[0;1].$$

   Наибольшее число множества равно $$1,$$ значит, точная верхняя граница:

   $$m=1.$$

2. б) $$X=[0;1).$$

   Все элементы множества меньше $$1,$$ но сколь угодно близки к нему. Поэтому

   $$m=1.$$

3. в) $$X=\left\{x \mid x=\frac{1}{n},\ n\in \mathbb{N}\right\}.$$

   При $$n=1$$ получаем наибольший элемент:

   $$x=\frac{1}{1}=1.$$

   Следовательно, точная верхняя граница множества:

   $$m=1.$$

4. г) $$X=\left\{x \mid x=\frac{1+5n}{n},\ n\in \mathbb{N}\right\}.$$

   Преобразуем общий член:

   $$x=\frac{1+5n}{n}=5+\frac{1}{n}.$$

   Так как $$\frac{1}{n}\le 1,$$ наибольшее значение достигается при $$n=1$$:

   $$x=5+1=6.$$

   Значит, точная верхняя граница множества:

   $$m=6.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$6$$.