Упр.4.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Ha числовой прямой отмечены точки -3 и 1. При помощи циркуля и линейки постройте точки 0 и 5. б) Ha числовой прямой отмечены точки -V2 и 3. При помощи циркуля и линейки постройте точку 0.

а) Рассмотрим интервал $$8<a<9.$$

Предположим, что среди чисел этого интервала есть наименьшее или наибольшее число $$a.$$ Тогда расстояние от концов интервала до этого числа можно записать в виде

$$a-8=\frac{n}{m}\quad \text{или}\quad 9-a=\frac{n}{m},$$

где $$\frac{n}{m}$$ — наименьшее положительное число.

Но всегда можно взять меньшее положительное число, например

$$\frac{n}{m+1}<\frac{n}{m}.$$

Значит, наименьшего положительного числа не существует, а следовательно, не существует ни наименьшего, ни наибольшего числа в интервале $$\left(8;9\right).$$

б) Решим неравенство

$$x^2<5.$$

Получаем

$$x^2-5<0$$

$$\left(x-\sqrt5\right)\left(x+\sqrt5\right)<0,$$

откуда

$$-\sqrt5<x<\sqrt5.$$

Предположим, что среди этих чисел есть наименьшее или наибольшее число $$x.$$ Тогда

$$x-(-\sqrt5)=\frac{n}{m}\quad \text{или}\quad \sqrt5-x=\frac{n}{m},$$

где $$\frac{n}{m}$$ — наименьшее положительное число.

Но можно взять меньшее положительное число:

$$\frac{n}{m+1}<\frac{n}{m}.$$

Противоречие. Значит, среди чисел, удовлетворяющих неравенству $$x^2<5,$$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

Ответ

а) В интервале $$\left(8;9\right)$$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.
б) Среди чисел, удовлетворяющих неравенству $$x^2<5,$$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.