Упр.4.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а Докажите, что в интервале (8; 9) нет ни наименьшего ни наибольшего числа; б) докажите, что среди чисел, удовлетворяющих неравенству x2 < 5, нет ни наименьшего ни наибольшего числа.

а) В интервале $$\left(8;9\right)$$ нет наименьшего и наибольшего числа, потому что для любого числа $$x \in \left(8;9\right)$$ можно указать:

• меньшее число из того же интервала, например $$\frac{8+x}{2} \in \left(8;9\right)$$ и $$8<\frac{8+x}{2}<x$$;
• большее число из того же интервала, например $$\frac{x+9}{2} \in \left(8;9\right)$$ и $$x<\frac{x+9}{2}<9$$.

Значит, в интервале $$\left(8;9\right)$$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

б) Неравенство $$x^2<5$$ равносильно

$$-\sqrt{5}<x<\sqrt{5}.$$

Множество всех таких чисел — это интервал $$\left(-\sqrt{5};\sqrt{5}\right).$$ Он не содержит концов, поэтому:

• для любого числа $$x<\sqrt{5}$$ можно взять большее число, например $$\frac{x+\sqrt{5}}{2}\in\left(-\sqrt{5};\sqrt{5}\right);$$
• для любого числа $$x>-\sqrt{5}$$ можно взять меньшее число, например $$\frac{x-\sqrt{5}}{2}\in\left(-\sqrt{5};\sqrt{5}\right).$$

Следовательно, среди чисел, удовлетворяющих неравенству $$x^2<5,$$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

Ответ

а) В интервале $$\left(8;9\right)$$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.
б) Среди чисел, удовлетворяющих неравенству $$x^2<5,$$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.