Упр.39.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Для функции у = f(x) найдите lim при переходе от точки х к точке х + дельтах, если: a) f(х) = kx + b; б) f(x) = ах2; в) f(х) = 1/x; г) f(х) = корень x.

Подробный ответ

Найдём предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

а) $$f(x)=kx+b$$

$$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{k(x+\Delta x)+b-(kx+b)}{\Delta x} = \frac{k\Delta x}{\Delta x} = k $$
$$ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=k $$

б) $$f(x)=ax^2$$

$$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{a(x+\Delta x)^2-ax^2}{\Delta x} = \frac{a(x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2)-ax^2}{\Delta x} $$
$$ = \frac{2ax\Delta x+a(\Delta x)^2}{\Delta x} = 2ax+a\Delta x $$
$$ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=2ax $$

в) $$f(x)=\frac{1}{x}$$

$$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x} = \frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)\Delta x} = -\frac{1}{x(x+\Delta x)} $$
$$ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x} = -\frac{1}{x^2} $$

г) $$f(x)=\sqrt{x}$$

$$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x} \cdot \frac{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}} $$
$$ = \frac{(x+\Delta x)-x}{\Delta x\left(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}} $$
$$ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$