Упр.39.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Для функции у = f(x) найдите при переходе от точки х к точке х + дельта х, если: a) f(x) = kx + b; б) f(x) = ах2; в) f(x) = 1/x; г) f(x) = корень х.

1. Если $$f(x)=kx+b,$$ то

   $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \frac{k(x+\Delta x)+b-(kx+b)}{\Delta x} = \frac{k\Delta x}{\Delta x} = k. $$

2. Если $$f(x)=ax^2,$$ то

   $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{a(x+\Delta x)^2-ax^2}{\Delta x} = \frac{a(x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2)-ax^2}{\Delta x} = \frac{2ax\Delta x+a(\Delta x)^2}{\Delta x} = 2ax+a\Delta x. $$

3. Если $$f(x)=\frac{1}{x},$$ то

   $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x} = \frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)\Delta x} = -\frac{1}{x(x+\Delta x)}. $$

4. Если $$f(x)=\sqrt{x},$$ то

   $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x} = \frac{(\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x})(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})} = \frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}. $$

Ответ

а) $$k$$; б) $$2ax+a\Delta x$$; в) $$-\frac{1}{x(x+\Delta x)}$$; г) $$\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}$$.