Упр.39.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) lim (1 — cos x)/x2; б) lim (sin 7x — sin 3x)/(sin 8x — sin 2x).

Используем формулы:

$$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$

$$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$

а)

$$ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac12\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 $$

Так как $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,$$ то
$$ \lim_{x\to 0}\frac12\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 = \frac12\cdot 1^2 = \frac12. $$

б)

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 7x-\sin 3x}{\sin 8x-\sin 2x} = \lim_{x\to 0}\frac{2\cos 5x\sin 2x}{2\cos 5x\sin 3x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x} $$

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x\to 0}\frac{2x}{3x}\cdot \frac{\sin 2x}{2x}\cdot \frac{3x}{\sin 3x} = \frac23\cdot 1\cdot 1 = \frac23. $$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$\frac23$$.