Упр.39.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) lim (корень(x + 6) — 3)/(x2 — 3x); б) lim (корень(2x + 3) — корень(2x — 7)); в) lim (x2 — 4) / (корень(2x + 5) — 3); г) lim (корень(5 — 3x) — корень(-3x)).

а) $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\tg x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\sin x/\cos x}=\lim_{x\to 0}\cos x=1.$$

б) $$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin 3x+\sin x}{\cos 3x+\cos x}$$

Используем формулы суммы в произведение:

$$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x,$$

$$\cos 3x+\cos x=2\cos 2x\cos x.$$

Тогда

$$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{2\sin 2x\cos x}{2\cos 2x\cos x}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\tg 2x=\tg \pi=0.$$

в) $$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\ctg x}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\cos x/\sin x}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\sin x=1.$$

г) $$\lim_{x\to 0}\frac{\cos 5x-\cos 3x}{\sin 5x+\sin 3x}$$

Преобразуем числитель и знаменатель:

$$\cos 5x-\cos 3x=-2\sin 4x\sin x,$$

$$\sin 5x+\sin 3x=2\sin 4x\cos x.$$

Тогда

$$\lim_{x\to 0}\frac{-2\sin 4x\sin x}{2\sin 4x\cos x}=\lim_{x\to 0}(-\tg x)=0.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$0$$; в) $$1$$; г) $$0$$.