Упр.39.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) lim (sin x)/(tg x); б) lim (sin 3x + sin x) / (cos 3x + cos x); в) lim (cos x) / (ctg x); г) lim (cos 5x — cos 3x) / (sin 5x + sin 3x).

1. $$\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x}$$

   Рационализуем числитель:

   $$ \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x}\cdot \frac{\sqrt{x+6}+3}{\sqrt{x+6}+3} =\frac{x+6-9}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)} =\frac{x-3}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)}. $$

   Сокращаем на $$x-3$$:

   $$ \lim_{x\to 3}\frac{1}{x(\sqrt{x+6}+3)} =\frac{1}{3(\sqrt{9}+3)} =\frac{1}{3(3+3)} =\frac{1}{18}. $$

2. $$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7}\right)$$

   Вынесем $$x$$ под корнем:

   $$ \sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7} =\sqrt{x\left(2+\frac{3}{x}\right)}-\sqrt{x\left(2-\frac{7}{x}\right)}. $$

   При $$x\to\infty$$ имеем $$\frac{3}{x}\to 0$$ и $$\frac{7}{x}\to 0$$, значит

   $$ \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7}\right) =\sqrt{2}-\sqrt{2}=0. $$

3. $$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{\sqrt{2x+5}-3}$$

   Умножим на сопряжённое:

   $$ \frac{x^2-4}{\sqrt{2x+5}-3}\cdot \frac{\sqrt{2x+5}+3}{\sqrt{2x+5}+3} =\frac{(x^2-4)(\sqrt{2x+5}+3)}{2x+5-9}. $$

   Разложим на множители:

   $$ x^2-4=(x-2)(x+2), \qquad 2x+5-9=2(x-2). $$

   Тогда

   $$ \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2(x-2)} =\lim_{x\to 2}\frac{(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2}. $$

   Подставляем $$x=2$$:

   $$ \frac{(2+2)(\sqrt{2\cdot 2+5}+3)}{2} =\frac{4(\sqrt{9}+3)}{2} =\frac{4(3+3)}{2} =12. $$

4. $$\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{5-3x}-\sqrt{-3x}\right)$$

   Вынесем $$-3x$$ под корнем:

   $$ \sqrt{5-3x}-\sqrt{-3x} =\sqrt{-3x\left(1-\frac{5}{3x}\right)}-\sqrt{-3x}. $$

   При $$x\to -\infty$$ величина $$\frac{5}{x}\to 0$$, поэтому

   $$ \lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{5-3x}-\sqrt{-3x}\right) =\sqrt{-3x}\left(\sqrt{1-\frac{5}{3x}}-1\right)\to 0. $$

   Следовательно, предел равен $$0$$.

Ответ

а) $$\frac{1}{18}$$; б) $$0$$; в) $$12$$; г) $$0$$.