Упр.39.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) lim (x + 2)/(x3 + 8); б) lim (x3 + 1) / (1 — x2); в) lim (x — 3) / (x3 — 3); г) lim (16 — x2) / (64 — x3).

а) Разложим знаменатель на множители:

$$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4).$$

Тогда

$$\lim_{x\to -2}\frac{x+2}{x^3+8}=\lim_{x\to -2}\frac{x+2}{(x+2)(x^2-2x+4)}=\lim_{x\to -2}\frac{1}{x^2-2x+4}.$$

Подставим $$x=-2$$:

$$\frac{1}{(-2)^2-2\cdot(-2)+4}=\frac{1}{4+4+4}=\frac{1}{12}.$$

б) Разложим числитель и знаменатель:

$$1+x^3=(1+x)(1-x+x^2), \qquad 1-x^2=(1-x)(1+x).$$

Тогда

$$\lim_{x\to -1}\frac{1+x^3}{1-x^2}=\lim_{x\to -1}\frac{(1+x)(1-x+x^2)}{(1-x)(1+x)}=\lim_{x\to -1}\frac{1-x+x^2}{1-x}.$$

Подставим $$x=-1$$:

$$\frac{1-(-1)+(-1)^2}{1-(-1)}=\frac{1+1+1}{1+1}=\frac{3}{2}.$$

в) Разложим знаменатель:

$$x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9).$$

Тогда

$$\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{x^3-27}=\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{(x-3)(x^2+3x+9)}=\lim_{x\to 3}\frac{1}{x^2+3x+9}.$$

Подставим $$x=3$$:

$$\frac{1}{3^2+3\cdot 3+9}=\frac{1}{9+9+9}=\frac{1}{27}.$$

г) Представим числитель и знаменатель в виде произведений:

$$16-x^2=(4-x)(4+x),$$

$$64-x^3=(4-x)(16+4x+x^2).$$

Тогда

$$\lim_{x\to 4}\frac{16-x^2}{64-x^3}=\lim_{x\to 4}\frac{(4-x)(4+x)}{(4-x)(16+4x+x^2)}=\lim_{x\to 4}\frac{4+x}{16+4x+x^2}.$$

Подставим $$x=4$$:

$$\frac{4+4}{16+4\cdot 4+4^2}=\frac{8}{16+16+16}=\frac{8}{48}=\frac{1}{6}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{12}$$; б) $$\frac{3}{2}$$; в) $$\frac{1}{27}$$; г) $$\frac{1}{6}$$.