Упр.39.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) lim (2arcsin x + 3arccos x); б) lim (arccos x + пи sin x пи) / (пи cos x пи + 2arcsin x); в) lim (2arctg x — arcctg x); г) lim (2arctg x + x пи) / (cos x — cos (-x) + arctg x).

1. $$\lim_{x\to 0{,}5}\left(2\arcsin x+3\arccos x\right)=2\arcsin\frac12+3\arccos\frac12.$$

   $$2\cdot\frac{\pi}{6}+3\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}.$$

2. $$\lim_{x\to -0{,}5}\frac{\arccos x+\pi\sin \pi x}{\pi\cos \pi x+2\arcsin x}= \frac{\arccos\left(-\frac12\right)+\pi\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)}{\pi\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+2\arcsin\left(-\frac12\right)}.$$

   $$\frac{\frac{2\pi}{3}+\pi\cdot(-1)}{\pi\cdot 0+2\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right)} =\frac{-\frac{\pi}{3}}{-\frac{\pi}{3}}=1.$$

3. $$\lim_{x\to \sqrt3}\left(2\arctg x-\operatorname{arcctg}x\right)=2\arctg\sqrt3-\operatorname{arcctg}\sqrt3.$$

   $$2\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{4\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{6}=\frac{\pi}{2}.$$

4. $$\lim_{x\to -1}\frac{2\operatorname{arcctg}x+\pi x}{\cos x-\cos(-x)+\arctg x}= \frac{2\operatorname{arcctg}(-1)+\pi(-1)}{\cos(-1)-\cos 1+\arctg(-1)}.$$

   Так как $$\cos(-1)=\cos 1,$$ то знаменатель равен $$\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}.$$

   Числитель:

   $$2\cdot\frac{3\pi}{4}-\pi=\frac{3\pi}{2}-\pi=\frac{\pi}{2}.$$

   Тогда

   $$\frac{\frac{\pi}{2}}{-\frac{\pi}{4}}=-2.$$

Ответ

а) $$\frac{4\pi}{3}$$; б) $$1$$; в) $$\frac{\pi}{2}$$; г) $$-2$$.