Упр.39.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции у = f(x), обладающей следующими свойствами: a) lim f(x) = 5; f(2) = 5; lim f(x) = -1; f(-3) =1; lim f(x) = -2 функция возрастает на (-oo; 2]. б) lim f(x) = -3; f(-1) = 2; lim f(x) = -2; f(0) = -2; lim f(x) = 3 E(f) = (-3; 5].

а) Нужно построить график функции, для которой

$$\lim_{x\to 2} f(x)=5,\qquad f(2)=5,$$

$$\lim_{x\to -3} f(x)=-1,\qquad f(-3)=1,$$

$$\lim_{x\to \infty} f(x)=-2,$$

и функция возрастает на $$(-\infty;2].$$

Значит, график должен:

• подходить к точке $$(-3,-1)$$, но в самой точке иметь значение $$f(-3)=1$$;
• проходить через точку $$\left(2,5\right)$$;
• при $$x\to\infty$$ стремиться к прямой $$y=-2$$;
• возрастать на $$(-\infty;2].$$

Такой график можно изобразить, например, в виде возрастающей кривой с выколотой точкой $$(-3,-1)$$ и закрашенной точкой $$(-3,1)$$, проходящей через $$\left(2,5\right)$$ и далее убывающей к горизонтальной асимптоте $$y=-2$$.

б) Здесь заданы свойства:

$$\lim_{x\to -1} f(x)=-3,\qquad f(-1)=2,$$

$$\lim_{x\to 0} f(x)=-2,\qquad f(0)=-2,$$

$$\lim_{x\to \infty} f(x)=3,$$

$$E(f)=(-3;5].$$

Следовательно, график должен иметь:

• выколотую точку $$(-1,-3)$$ и закрашенную точку $$(-1,2)$$;
• точку $$\left(0,-2\right)$$, через которую график проходит;
• при $$x\to\infty$$ горизонтальную асимптоту $$y=3$$;
• область значений $$(-3;5].$$

Подходящий эскиз — кривая, которая слева стремится к $$y=3$$, затем опускается к минимуму около $$y=-3$$, проходит через точку $$\left(0,-2\right)$$ и справа снова стремится к $$y=3$$, не выходя за пределы значений $$(-3;5].$$

Ответ

Построены графики функций, удовлетворяющих заданным свойствам: в пункте а — с точками $$(-3,-1)$$, $$(-3,1)$$, $$\left(2,5\right)$$ и асимптотой $$y=-2$$; в пункте б — с точками $$(-1,-3)$$, $$(-1,2)$$, $$\left(0,-2\right)$$, асимптотой $$y=3$$ и областью значений $$(-3;5].$$