Упр.39.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) lim (4x — x2 + 1)/(5×2 — 2x); б) lim (x3 — 8)/(x3 + 18); в) lim (3x — 2×2 + 4)/(3×2 + 2x); г) lim (x3 — 3×2)/(x4 + 2x + 1).

Найдём пределы, разделив числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной в каждом выражении.

1. $$\lim_{x\to\infty}\frac{4x-x^2+1}{5x^2-2x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{4}{x}-1+\frac{1}{x^2}}{5-\frac{2}{x}}$$
   При $$x\to\infty$$ имеем $$\frac{4}{x}\to 0$$, $$\frac{1}{x^2}\to 0$$, $$\frac{2}{x}\to 0$$, значит
   $$\lim_{x\to\infty}\frac{4x-x^2+1}{5x^2-2x}=\frac{0-1+0}{5-0}=-\frac15.$$

2. $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-8}{x^3+18} =\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{8}{x^3}}{1+\frac{18}{x^3}}$$
   Так как $$\frac{8}{x^3}\to 0$$ и $$\frac{18}{x^3}\to 0$$, получаем
   $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-8}{x^3+18}=\frac{1-0}{1+0}=1.$$

3. $$\lim_{x\to\infty}\frac{3x-2x^2+4}{3x^2+2x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{3}{x}-2+\frac{4}{x^2}}{3+\frac{2}{x}}$$
   Тогда
   $$\lim_{x\to\infty}\frac{3x-2x^2+4}{3x^2+2x}=\frac{0-2+0}{3+0}=-\frac23.$$

4. $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-3x^2}{x^4+2x+1} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}}{1+\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^4}}$$
   При $$x\to\infty$$ все дробные слагаемые стремятся к нулю, поэтому
   $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-3x^2}{x^4+2x+1}=\frac{0-0}{1+0+0}=0.$$

Ответ

а) $$-\frac15$$; б) $$1$$; в) $$-\frac23$$; г) $$0$$.